星期三, 10月 12, 2005

Steven Holl Building Opens at Pratt

A replacement for a structure that burned down in 1996, the new building will connect two wings of the institute's architecture school
By Diana Lind

Steven Holl Architects' new Higgins Hall Center Section opened at Brooklyn's Pratt Insititute in September. Sandwiched between two landmarked brick buildings, the $10.5 million insertion adds a modern touch to the historic Clinton Hill district. The insertion connects the two wings of the hall, which house Pratt's architecture school.



Photo: Tyler Campbell Wriston/Courtesy of Pratt Institute

Holl's firm was hired for the job soon after a fire in 1996 burned down a building in the same location. The new 22,500-square-foot section is supported by six precast-concrete beams and enveloped in interlocking U-shaped, structural channel-glass backed with translucent white insulation.


Photo: Richard Caden/Courtesy of Pratt Institute

It joins two buildings whose floor heights are mismatched by an inch on one story and by almost five feet on another. Clear glass windows in the new section intentionally expose this so-called "dissonant zone," showing the ramps which connect the misaligned floor plates.

文章出處:businessweek

星期日, 10月 02, 2005

學數的苦與樂

本文來源:http://www.geocities.com/kfzhouy/Mathpassage1.html
學數之苦
看數學書跟看小說或其他消閒書籍不同,不能「隨隨便便」地讀,因為讀數學書必須理解,不僅是對前文後理的理解,而且是對書中的演算或證明每一步的理解。因此讀數學書就像跟作者一起在做運算,有時心算算不了還要拿紙筆出來進行筆算。有些人也許採用實用主義的觀點,認為看數學書只需明白有關公式、定理的意義和用途,而不必深究這些公式、定理是如何推導出來的,因而可以跳過這些證明不看。
這種觀點對於初學數學的人或者不打算深入了解有關公式、定理的人來說或許是正確的,但如果你希望對這些公式、定理有進一步的了解,那就不能不看證明了。事實上,證明往往就是整本數學書的精粹。假如你翻開一本典型的數學教科書,你會發現這本教科書的大部分篇幅都是由定理(Theorem)(註1)的證明構成的。讀數學書就是看(理解)這一條條定理的證明,有些定理的證明還長達數頁,有時由於看不懂證明的某一步驟是如何推導的,往往須花費很長時間苦思冥想,所以看數學書絕不是「消閒」的活動,而是頗費神的。
有些人或許認為數學教科書既然是由數學家寫的,我們大可相信他們的證明沒有錯誤,因而無需仔細看證明的每一步,此說其實未必盡然。首先,看證明的目的是為了深入了解某定理與其他定理或定義的邏輯依存關係,如果只是隨便地看看證明而不細心理解其理據,那麼有關內容只是過眼雲煙,看了還是未完全理解其意義。其次,看證明往往就是鍛煉邏輯推理和數學運算技巧的機會,不僅能提高我們的推理和運算能力,而且還能增強自信心,使自己不再懼怕繁瑣的算式。第三,定理的證明常常須用上先前已證明的定理或甚至其他數學學科的知識(假設這些知識已成為讀者的常識),因此看證明就是溫習這些舊知識的機會。我們決不可輕看溫習舊知識對學習數學的重要性。在某程度上,學數其實是一個「浸」的過程。我們常常看到這樣一個現象,某些新概念在初接觸時覺得甚難理解,但當我們多接觸這些概念幾次,就會開始覺得這些概念其實並不那麼陌生。假以時日,甚至會成為我們常識的一部分。總上所述,看證明有時是一種痛苦但又必要的過程。
學數之苦不僅在於看數學書的費勁,還在於學數往往不能一蹴而就,而須一點一滴累積。我對某些抽象數學概念的理解(例如流形Manifold、微分形式Differential Form、線性泛函Linear Functional等)常常是經過斷斷續續看不同的書,從不同角度討論同一個概念而一點一滴累積的。有時在看了第一本討論這概念的書後以為自己明了,但很快便會忘記,需要再看第二本、第三本才能慢慢領略其真諦。因此可以說,看數學書甚少是可以全本都看得明的,而知識的增長不是直線上升,而是呈螺旋式上升。數學知識的每一步增長都要經過艱苦的努力,其中還夾雜不知多少失望、沮喪和惶恐。
數學書之難讀不在於算式之繁,而在於某些數學概念之抽象。其實算式一般是具體易明的,即使很繁,只要多點耐性,終究也能應付得來。但如果概念十分抽象而書本中又缺乏實例,那就真教人丈八金剛摸不著頭腦。例如對於很多人來說,在平面上理解立體圖形便是一件很痛苦的事。但其實這已不算十分困難,因為立體(即三維空間)終究是我們日常生活於其中的空間,是我們所熟悉的。某些數學學科(例如拓樸學Topology)所研究的常常是三維以上的空間或圖形,根本無法畫出來,那就更難理解了。例如在拓樸學中便有兩個著名圖形(克萊因瓶Klein Bottle和射影平面Projective Plane)是超出三維空間的。在理解這些圖形時,根本沒有現實世界中的實例,只能通過想像和借助類比方法抽象地理解。如果四維空間還可以透過跟三維空間類比去理解,那麼微分拓樸(Differential Topology)中的「七維怪球面」便真的只能靠艱苦的推理了。
數學的抽象性往往還不是一層的抽象,更常常是多層的抽象。就以抽象代數(Abstract Algebra)為例,它所研究的群(Group)、環(Ring)、域(Field,有些書譯作「體」)、模(Module)、格(Lattice)、布爾代數(Boolean Algebra)等本身便是抽象的。所謂「抽象」(Abstraction),就是抓著一些對象的共同點加以整體研究,而撇除這些對象的個別特點。例如實數(Real Number)、複數(Complex Number)、向量(Vector)、矩陣(Matrix)等本來是各有不同特點的集合(Set),但是它們在加法運算上卻有相同之處,即加法在這些集合上滿足封閉性 (Closure)、結合性(Associativity),存在單位元(Identity)和逆元(Inverse),於是我們便可以把這種共同點抽象出來,把具有上述四種特性的集合及有關運算統稱為「群」,進行綜合研究。這可以稱為第一層的抽象。
可是抽象代數學並不滿足於只是把各種不同集合及其運算抽象成「群」,而是進而研究不同群之間的關係,並引出「同態」(Homomorphism)和「同構」(Isomorphism)的概念。同態和同構就是不同群之間的一種函數關係,在抽象程度上比群的運算更高一級。而新近發展起來的範疇論(Category Theory)更以集合與集合之間的函數關係重新釐定數學的基礎,並且引出範疇(Category)、函子(Functor)、自然變換(Natural Transformation) 等概念,而且這些概念一個比一個抽象。數學的抽象程度似乎是永無止境的。
不僅數學概念是抽象的,數學的證明方法也是抽象的,這是因為數學證明是基於純粹的邏輯思維,即從給定的前提和已有的概念、定理出發,根據正確的推理規則推出結果。在這過程中,最重要的是推理規則,至於前提正確與否反倒是次要的。此一情況在反證法(Proof by Contradiction)中最為明顯。反證法的證明方法是首先假設待證的結論是錯的(即假設結論的否定是正確的),然後嘗試由此推導出矛盾,矛盾的存在證明最初的假設 (即待證結論的否定)是不正確的,由此便間接證明了待證結論。從反證法的原理可以看到,數學的推理是純形式的,即數學家在推理時只注意使用正確的推理規則,而不必考慮前提是否正確。因此,數學家不僅要懂得如何從正確的前提推出正確的結論,也要懂得如何從錯誤的前提出發,在推理中發現矛盾,從而證明前提是錯誤的。這不能不說是對思維的頗高要求。
造成數學抽象性的另一個原因是數學研究的對象往往是無限的,而人的經驗卻是有限的。以有限的經驗嘗試理解無限的事物,常會有「以偏概全」或「掛一漏萬」的弊端。因此數學使用演繹法(Deduction)而非歸納法 (Induction)(註2),因為只有演繹法才能保證推理的結論在無限的情況下是正確的(註3)。數學上的演繹證明常常採用這樣的形式:假設一個具有某些性質的一般個體(變量variable),然後根據此個體的性質進行推理。例如,在證明某關於偶數的命題時,首先假設一個偶數變量x,由於x是偶數,故可把它表達為2n,其中n為任意整數。在證明過程中我們所著眼的由始至終均應是這個一般的x=2n,而不是任何一個具體的偶數(如2、4、6 等)。換言之,我們撇除了2、4、6這些數的個別特點,而只著眼於這些數的共同點(即它們都可以表達為2n)。
可是學數的人不能總是抽象地考慮一般的對象,因為一般的對象有時會過於抽象而難以理解。事實上,學數的人在理解一個新命題或面對一個新問題時,常須使用「特殊化」(Specialization)的手段,即把一般的對象換成具體的特例以幫助理解。例如,在初接觸「偶數和奇數的積是偶數」此一命題時,如果覺得很抽象難明,可以先把命題中的「偶數」和「奇數」換成6和3這兩個具體數字,然後求其積得18,證實6和3的積的確是偶數。又例如在證明幾何題時,常常需要借助畫圖幫助思考,畫圖也是特殊化的方法。可是特殊化有時會令學數的人誤把一些非本質的屬性帶入思考中,從而導致錯誤理解或錯誤解題。因此,學數的人在特殊化時必須小心分清在他們所選的特例中哪些性質是本質的,哪些並非本質的,這正是難點之所在。
最後我想把學習數學比作登山,當你還身處山腳並向上望時,只見山峰處被濃濃的雲霧遮蓋著,以為這座山就那麼高,心想只要走到那裡便已到達頗高境界。但當你穿過濃霧,正要沾沾自喜之際,抬頭一看,卻赫然發現眼前竟又出現多個高峰,原來剛才只是因為眼界被濃霧遮蔽,看不見雄偉的山勢;當穿過雲霧後,才發現原來前面的路還多著呢。學數也是這樣,每當你經過一番努力,以為已經攀登了一個「高峰」時,才發現前面原來還有很多個高峰。而且越往上走,所發現的高峰便越多。有時面對眼前雄偉壯觀的景象,心想恐怕這一輩子也難以攀上其中一個,真有點望「峰」興嘆之感。
學數之樂
講了這麼多學數之苦,似乎學習數學是苦不堪言的,那麼為何仍要孜孜不倦地去追求這方面的學問呢?原因是經過我們在經過一番艱苦努力後,終會獲得甜美的果實。數學雖然是高度抽象的,但它又是具有高度規律性的。數學的這種規律性乃來自其邏輯性和形式化的表達方法。所謂形式化(Formalization),是指使用嚴格定義的符號系統,遵循嚴格定義的規則進行運算或推理,因此數學的最大特徵就是大量使用符號。形式化的好處是使定義更加明確,令運算和推理過程更加清晰,使含混其詞或偷換概念等邏輯謬誤較容易被發現。事實上,數學家兼哲學家萊布尼茲(Leibniz)曾經指出,哲學上的諸多爭論是由於人類的語言不夠嚴格,如果能夠發明一種高度形式化的語言,便可消弭各種不必要的爭論。雖然萊布尼茲的設想未必正確,至今也沒有實現,但他的確道出了數學形式化的優越性。因此,跟其他學科比較,數學的知識是十分實在的,沒有爭論的餘地,也不容許含混其詞或偷換概念(註4)。
由於數學思維是邏輯思維,因此學數就是鍛煉邏輯思維的最佳方法。思考的過程有時是艱苦的,但在經過艱苦努力後總會有一些成果,這些成果不僅是智慧的增長,有時更是一種滿足感或者豁然開朗的頓悟感覺。而有時錯誤更會令我們學習到更多東西。我就曾經面對一條題目,苦思了兩天後還差一點點未能完全解通。在次晨起床後靜靜回顧這條題目時,突然發現自己原來錯誤理解了題目的某一部分。經糾正後,一切便變得明白了,原來的問題也完全解通了,心中有一種莫名的喜悅和頓悟的感覺。事實上,由於我最初錯誤理解題目,才會令我花這麼多時間十分細緻地思考這條題目的各個方面。可以說,這錯誤雖然耗費了我很多時間,但卻令我學習了更多東西。
數學的規律性和邏輯性不僅展現了人類智慧之光,也是一種美的表現,因此學數除了鍛煉智慧外,還可以欣賞數學之美。談到數學之美,人們首先想到的是幾何圖形的對稱美。事實上,當代物理學指出對稱性(Symmetry) 是我們宇宙的一種本質屬性,因此對稱性成了今天幾何學研究的其中一個課題。除了傳統的幾何學外,分形幾何學(Fractal Geometry)是展現幾何圖形美的另一個來源。很粗略地講,如果對稱幾何學展現了宇宙的規則性和對稱性,那麼分形幾何學則展現了宇宙的另一面-不規則性和混沌性(chaotic)(註5)。不過這種不規則不是雜亂無章,而是表現為一種「自相似結構」,可以說是亂中有致。事實上,今天有些人正是利用分形幾何學的理論創作美術圖形。 其實數學美不僅表現在幾何圖形中,即是說數學美不僅是一種視覺美,而且是一種心靈美。學數的人在領會到數學的規律性、統一性、簡潔性等等優美特性時,心中會有一種莫名的愉悅感,此即數學美之所在。以下通過一些實例談談我對數學美的體會。 數學的規律性經常表現為其無矛盾性,即數學系統各個分枝的知識是互相協調的。在學數時常會發現一個有趣的現象,就是同一個問題在使用極不相同的方法求解時都能得到相同的結果。例如著名的「代數學基本定理」 (Fundamental Theorem of Algebra)便有多種證法,分別可從代數學、分析學和拓樸學的角度證明這同一條定理。有時在求解一個複雜問題時,需要將問題轉化為另一個較易解的問題,最後將答案還原為原問題的解。這樣的解題方法往往須進行多重轉換,經轉換後的問題根本已變得面目全非,但是只要轉換過程是符合邏輯的,最後的答案卻仍是正確的。例如在求解某些常微分方程初值問題時,我們可以先利用拉普拉斯變換(Laplace Transform)把原有的微分方程轉化為一個代數方程,然後使用代數方法解這個代數方程,最後用拉普拉斯逆變換把代數方程的解還原為原微分方程的解。而最令人讚歎的是,使用此方法求得的解是正確的。
造成上述此一現象的其中一個原因是,數學問題或數學現象往往可以從不同數學分枝的角度研究,這些數學分枝不同表述方式只是表面上的不同,其實質是同一個數學問題。就以含有兩個未知數的聯立方程( Simultaneous Equation)為例。我們知道,含有兩個未知數的聯立方程可以表達為平面上的兩根直線。聯立方程的解就相當於該兩根直線的交點。在一般情況下,一組聯立方程只有一組解(即唯一解),此現象相當於平面上的兩條直線在一般情況下只有唯一一個交點。但當聯立方程是矛盾(Inconsistent)(註6)的因而無解時,該兩條方程在平面上便表現為一對平行線,即沒有交點的兩條直線。而當聯立方程線性相關(Linear Dependent) (註7)因而有無限個解時,該兩條方程在平面上便表現為同一條直線,即兩條直線相交於一條直線,因而直線上的所有點均為聯立方程的解,故有無限個解。上述這個簡單例子闡明了代數與幾何有密切的關係,而兩者是互相協調的。
其實上述現象不僅出現在數學的各個分枝之間,還常常出現於數學與其他科學之間。以下舉一個物理學的例子。在物理學上有一個現象稱為「簡諧振動」(Simple Harmonic Motion),是描述某些循環往複的運動,例如彈弓的振動在沒有磨擦力或其他外力的情況下便表現為簡諧振動,在你壓一壓彈弓後,彈弓便會時張時合,彈弓上的每一點在經過一個周期後會返回某個位置,循環不息(註8)。假如我們根據牛頓力學把彈弓上某點的運動表達為一條微分方程並解該微分方程時,我們會發現該方程的解可以表達為一個正弦函數(Sine Function) ,而正弦函數正好就是一個周期函數(Periodic Function),即函數的值在經過一個周期會變回原來的值(註9 )。我們看到,物理學上的簡諧振動正好對應於微分方程的周期函數解,這是多麼的美妙。此一簡單例子顯示,數學與物理學是密切相關的。事實上,我們可以說數學的規律性其實來自於大自然的規律性。
其次談談數學的統一性。數學的統一性表現為,一些表面上毫不相干或甚至矛盾的現象常常可以統一在一個更高的理論框架下。其情況就好像古代的指揮官在指揮軍隊時必須站在較高的位置上才能看清全局。在幾何學上便有這樣的事例。自從古希臘數學家歐幾里德(Euclid)創立其歐氏幾何(Euclidean Geometry)後,歐氏幾何一直主宰西方幾何數百年,直至文藝復興時期之後才開始陸續出現其他幾何學,如射影幾何(Projective Geometry)、仿射幾何(Affine Geometry)、相似幾何(Similar Geometry),乃至19世紀出現的非歐幾何(Non- Euclidean Geometry)(註10)等。雖然各種幾何似乎各自獨立,甚至互不相容(例如歐氏幾何與非歐幾何就是互不相容的),但是在1872年德國數學家克萊因(Klein)發表了著名的《埃爾蘭根綱領》(Erlangen Program),將各種幾何統一在一個理論框架下。他所用的工具是幾何變換(Geometric Transformation)所組成的「群」( Group),他把幾何學的研究對象確定為在給定變換群下不變的幾何性質,這樣各種幾何的不同之處僅在於它們所著眼的變換群各有不同。而更重要的是,這些變換群之間是有關連的,例如歐氏幾何變換群是仿射幾何變換群的子群(Subgroup),而後者又是射影幾何變換群的子群。因此《埃爾蘭根綱領》不僅統一了各種幾何學,而且還把部分幾何學組織成一個層級(Hierarchy),在這個層級中,射影幾何在仿射幾何之上,而仿射幾何又在歐氏幾何之上。各種幾何不再是互不相干,而是有結構的,這是多麼的美妙。
數學的統一性還表現在我們推廣(generalize)某些數學概念時,新概念往往能涵蓋舊概念,並且能與舊概念協調。例如複數(Complex Number)就是實數(Real Number)的推廣,我們可以把複數表達為a+bi的形式,其中a和 b為實數,分別稱為複數的實部(Real Part)和虛部(Imaginary Part),而i則是虛數單位,其定義為-1的平方根。在這定義中,如果我們取b=0,便會得a,因此實數其實就是虛部等於零的複數,由此可見,實數只不過是複數的特例。而更重要的是,複數的加、減、乘運算法則跟一般的代數運算法則沒有分別,而它的除法則與根式有理化(Rationalizaton of Surds)如出一轍,只不過多了一條i2 = -1的法則。如果我們把複數的四則運算法則套用於實數上,所得結果與實數的四則運算完全一樣,這從另一角度證明實數是複數的特例。
我們再看分析學的例子。在學習一元微積分時,我們都會學到一條微積分基本定理(Fundamental Theorem of Calculus)。後來在學多元微積分(又稱向量微積分)時,我們會學到各種新的積分,如二重積分、三重積分、曲線積分(Line Integral)、面積分(Surface Integral)以及更多積分定理,包括格林定理(Green's Theorem )、高斯定理(Gauss' Theorem)和斯托克斯定理(Stokes' Theorem),此外我們也會學到多種微分算子( Differential Operator),如梯度(Gradient)、散度(Divergence)和旋度(Curl)算子。這種種積分、定理和算子似乎是各有所司,互不相干的。但當我們學了流形分析(Analysis on Manifolds)後,我們便會發現上述各種積分都可以統一為微分形式(Differential Form)的積分、各種積分定理可以統一為「廣義斯托克斯定理」( Generalized Stokes' Theorem),而各種微分算子都可以統一為微分形式的d算子。換言之,上述各種微積分理論其實都只是微分形式的微積分理論的特例,在這裡我們再次看到數學統一性的美妙。
其實,除了上述兩例外,數學上的推廣例子實在俯拾皆是,隨便舉一些例子,如橢圓是圓形的推廣;向量 (Vector)是標量(Scalar)的推廣,而張量(Tensor)又是向量的推廣;拓撲學中的拓撲概念是開集(Open Set)概念的推廣;泛函分析(Functional Analysis)中的範數(Norm)是平面上的點與原點距離概念的推廣;實分析( Real Analysis)中的測度(Measure)是幾何學中長度、面積、體積概念的推廣;泛函分析中的譜(Spectrum)是線性代數(Linear Algebra)中特徵向量(Eigenvector)概念的推廣;黎曼幾何(Riemannian Geometry)中的度規 (Metric)是平面解析幾何中兩點距離公式的推廣,如似等等。其實不僅概念與概念之間有推廣關係,有時學科與學科之間也有推廣關係,例如從某一角度去看,線性泛函分析可視為是線性代數推廣到無限維向量(或內積) 空間的理論;同樣,流形分析也可視為是向量微積分推廣到高維歐氏空間或甚至微分流形(Differentiable Manifold)的理論。
曾有一些人這樣比較數學與其他科學,其他科學常常出現後人推翻前人理論的情況,但在數學中則不會出現此一情況,因為數學理論是由演繹法得來的真理,不可能推翻(除非前人犯了邏輯錯誤),後人只能繼承和推廣前人的概念和理論。因此學數的人不用擔心他們所學的理論明天會失效(但可能會過時),這就是數學的規律性和統一性的最佳說明。
最後我要談談數學的簡潔性。數學的簡潔性其實是指其高度概括性,即數學家總喜歡用最簡練的語言表達其思想。由於符號和公式是最簡練的語言,因此數學家便最愛用符號和公式盡量概括所取得的結果。例如複分析中著名的歐拉(Euler)公式:eiπ+1=0,恐怕是歷來最為人稱道的數學公式,因為這短短的一條式便表達了數學中最重要的五個常數0、1、i(虛數單位)、π(圓周率)和e(自然對數的底)之間的關係,這是何等的精練。
數學的高度概括性不僅在於數學公式的精練,還在於某些定理能以有限的語言概括大量或甚至無限的現象。例如前述的廣義斯托克斯定理便以一條很簡短的公式概括各種積分定理。又如抽象代數學中的伽羅華理論( Galois Theorem)利用伽羅華群(Galois Group)和自同構(Automorphism)等概念研究多項方程式(Polynomial Equation)的根式(Surd)解,結果發現五次或以上的多項方程式並無一般的根式解,這是多麼高度概括的結果。再如幾何拓樸學(Geometric Topology)中的「緊致連通曲面(Compact Connected Surface)分類定理」告訴我們,任何緊致連通曲面在同胚(Homeomorphic)(註11)的意義下均可劃歸以下三類曲面的其中一類:球面( Sphere);圓環(Torus)的連通和(Connected Sum);射影平面(Projective Plane)的連通和。於是形形式式的緊致連通曲面便被簡單地分為三類,由此可見數學推理的力量。我們甚至可以說,數學就是以有限駕馭無限的藝術。
或許數學的簡潔性和統一性正是宇宙規律性的反映,與數學有密切關係的物理學同樣追求簡潔性和統一性,而且亦已取得很多成功。19世紀末麥克斯韋(Maxwell)把電和磁兩種現象統一於他的電磁理論(Electromagnetism ),是一次大成功。到了20世紀,愛恩斯坦企圖建立一種把引力與電磁力統一的「統一場論」,至死沒有成功。但後繼的物理學家繼續孜孜不倦的努力,企圖最終建立一種能把宇宙四種基本力(引力、電磁力、弱力和強力) 的「萬有理論」(Theory of Everything)。研究當今最尖端的超弦理論(Superstring Theory)的美籍日裔理論物理學家加來道雄(Michio Kaku)經常說,萬有理論可能是一條只有一英吋長的方程式,但它能統一宇宙的四種基本力。由此可見,簡潔性和統一性似乎是數學家和物理學家的共同夢想。
註1:有些書不用「定理」這名稱,而稱「命題」(Proposition)。此外有時還有引理Lemma、推論Corollary 等,但其實引理和推論都是定理的一種。
註2:在數學上雖然有一種極重要的證明方法稱為數學歸納法(Mathematical Induction),但數學歸納法的要旨是假設待證命題S(n)在n=k時成立,然後嘗試據此證明S(n)在n=k+1時也成立,其本質仍是演繹推理。
註3:當然,如果待證結論只涉及有限個對象,那麼理論上使用「完全歸納法」(即窮盡地考察所有對象)也能得到正確的結論;但是如果對象數目很大,要進行完全歸納法也是極為困難的。
註4:當然,這並不代表所有讀數學的人都不會犯邏輯錯誤,事實上,數學上某些問題由於難度很高,即使數學家也可能不自覺地犯了邏輯錯誤。數學史上很多錯誤證明便可證明這點。另外,某些數學問題並無固定不變的解法,不同數學家根據其經驗會認為適宜採用不同的方法,這時便會有爭論的情況出現。例如,在有關數值分析(Numerical Analysis)的問題上,不同數學家便可能會對使用何種數值方法、採取甚麼樣的初值(Initial Value)、採取甚麼樣的誤差容許度(Tolerance)持不同意見。
註5:分形幾何學是新近發展起來的數學分支,該學科與複分析(Complex Analysis)、微分方程(Differential Equation)、動力系統(Dynamic System)、混沌理論(Chaos Theory)等數學分支均有密切關係。
註6:例如以下聯立方程便是矛盾的:x+y=1;x+y=2,我們不可能找到x和y的值同時滿足這兩條方程。
註7:當其中一條方程是另一條方程的倍數時,該組聯立方程就是線性相關的。例如以下聯立方程就是線性相關的:x+y=1;2x+2y=2。這裡其實只有一條方程,因此有無限多個解,例如x=2,y=-1;x=3,y=-2等等都是這組聯立方程的解。
註8:上述此情況只是在忽略空氣阻力(即一種磨擦力)下才成立。實際上,由於空氣阻力的存在,彈弓的振動會隨在時間而減弱,並且最終停止。
註9:例如sin(x)這函數便以2π為周期,即sin(x+2π)=sin(x)。
註10:非歐幾何是指不承認歐幾里德第五公設的幾何學,包括羅巴切夫斯基(Lobachevsky)和鮑耶(Bolyai)各自創立的羅氏幾何,和黎曼(Riemann)創立的黎曼幾何。
註11:粗略地說,兩個曲面是同胚的如果我們可以用擠壓或拉伸等方法(但不容許撕破或戮穿)把其中一個曲面變為另一個曲面,例如圓形面就與正方形面同胚。

IN CELEBRATION OF MATTER - 讚美物質

原作者:RAFAEL MONEO
翻譯:劉宏偉
校對:鐘文凱      
在二十世紀晚期,藝術可以部分地歸結為對根源的探求,這相對來說屬於新生事物。先鋒主義藝術家在二十世紀初相信他們正在書寫藝術進化歷史的最終章節 -- 同時也是一個嶄新時代的開端 -- 在此過程中,藝術領域裡相繼的各個時期不間斷地進行著關於再現自然的不懈努力。當 Wolffin 提出對藝術史進行綜合閱讀的時候,他奠定了視覺上的,並最終歸結為抽像的理解方向,而這一方向將可以概括所有以前時代的經驗。
  抽像,作為絕大部分二十世紀藝術的核心問題,有著符合邏輯的結果:它更多地是一個終結而非一個開端。然而,對於一些哲學家來說,先是 Nietzsche,後來有 Heidegger,新的開端同時也是最後的部分。他們認為文化必須被重新發現,必須進行決裂,唯一的出路就是拋棄過去。歷史,Foucault 所謂的十九世紀的統制者和女王,必須被遺棄。只有重新規定源初的問題,人們才可以找到正確的答案。六十年代,當歐洲與北美關於抽像的探索幾近枯竭和陷入重複的時候,藝術家們對於這個勢在必行的(變革)十分敏感,並開始探索其它的道路。對周圍世界客觀性的發現使他們欣喜若狂,而未知事物的不可名狀地存在使他們感到震驚。隨後他們嘗試重新創造這種經驗,並把對世界的全新認識引入畫廊與美術館。概念藝術,極少主義藝術,都是關於"根源期待"的展現形式。七十年代早期的一些建築嘗試或是停留在純粹地轉譯極少主義藝術家的經驗;或是終結於一種應用了概念藝術家所熱衷的語言學模式的新版本的先鋒主義傳統。七十年代晚期突然湧現的隱喻建築學把這些嘗試都拋在了後頭。
  Jacques Herzog 與 Pierre de Meuron 屬於其作品能夠被解釋為致力於使建築重新獲得根源的為數不多的建築師。一種對根本意義的探索,與建築的建造本質的直接對話,使他們的作品獨具風範並彰顯於與他們同輩的建築師們。與其他建築師相比,Jacques Herzog 與 Pierre de Meuron [以下均簡稱為 H &de M] 更為強調建築的根源性。H &de M 在設計位於瑞士,Bottmingen 的 Plywood House, 及西德,Weil 的 Frei 攝影工作室的時候,他們就試圖擺脫任何成見與偏見。他們發現:去建造 -- 也就是 Heidegger 所說的佔據大地 --首先必須創造一個全新的,人工的地面,一個平台。這是整個建築過程的出發點。 H &de M 在他們對於根源的探索中始終關心這個首要的基本環節,建立基礎成為建造過程中最重要的,決定性的一步。
  任何人審視他們的作品,都會發現他們對於在大地與建築之間建立一種清晰,根本性的區分的癡迷。水平面的建造自從建築學出現就一直是關鍵環節。構築所圍合的空間被消減為最少的表現;建築師更加關注於外牆與屋頂,它們成了構成建築的物質存在的最關鍵的元素。在 Plywood House 中,屋頂是遮風擋雨的,與主體空間的天花板並非一回事。籍此,通過對於功能的區分,H &de M 得以澄清建造的本質。在 Frei 攝影工作室(Photographic Studio Frei, Weil am Rhein, Niemcy)中,屋頂上的立方體表達了它們作為固定照像機鏡頭的作用;再一次,滿足建造要求暗示了建築的使用,它就是其存在的理由(raison d'dtre),成為設計的主體構思。回到本源意味著重新組織建築最為基本的需要。建築來自於對最基本條件所限定的問題的直接回答。
  儘管 H & de M 對普遍性的關注,他們對於建築所在的具體狀況十分敏銳。在這些狀況中,場地始終是一個重要問題,他們對於場地的關注在後面將會談到。可以說在他們的作品中,場地從來都不是決定因素。Frei工作室的平面,及位於瑞士 Basel 的 Claragraben 的建築項目的陽台就是如此,Schwitter 綜合開放項目中的互相重疊的幾何體亦然。按照 Heidegger 學派的理論,現場(site)與建築共同產生了場所(place) 的面貌。對 H &de M 來說,建築學對於人類生活的貢獻在於創造場所,使其可以賦予對我們所佔有的地方的歸屬感。特定的環境,例如在 Plywood House 中的樹,並未影響他們的設計,建築以消極的態度接受了這"不速之客"的存在。沒有人會把這個房子視作某一特定環境的產物。當我們談到本源,問題就更為基本,與外在環境並沒有太多關係。我認為,把 H &de M 的作品看作現在很普遍的以環境作為出發點的實踐中的又一例證是一種誤解。在我看來,恰恰相反,這兩位建築師在他們的作品裡描述了具有普遍性的狀況,然後把所有意想不到的情況納入其中,從而標識了他們的作品,同時轉化了它們的本質。Ricola Storage Building 即是這一設計思想的例子。簡簡單單長方形的空間是建造的直接結果。牆與屋頂是建築的基本元素。牆的複雜性說明建築師想要一下子解決所有問題的渴望。照明,隔熱,視覺的秩序等等問題激發了建築師的設計構思。最終,建築的形式看上去最為接近那些用於安全,乾燥地儲藏物品的原始的本地構築物。但是,H &de M 在探求關於最基本問題的普適與本質的答案的過程中所展現出來的縝密, 排除了任何把建築理解為是要建立一種語法結構的企圖。釘子,木板條與板材 -- 都服從於一種最終會生成形式的比例系統的框架中。建築師的熱情促使他們去發現數字與序列的效率,最後則創造出韻律。作為工匠,他們發現了學科的本質。
  如果我們審視 Ricola Storage Building 的轉角,很明顯,H &de M 懂得如何建造牆體,並且坦白地接受在那裡所遇到的問題。他們並未按照任何一種先入為主的關於形式的設計取向來塑造這個轉角,而僅僅是成全了兩片牆的相交,一個出人意料的美麗節點就出現了。這樣直接了當的姿態十分吸引人。這幾乎成了一種具有標誌性的設計手法。但實際過程中,這種態度並沒有那麼容易實現:任何人,比較一下這個例子的簷口下的轉角都會很欣賞建築師的精心考慮,的確是造就了一個建造工藝上更為明晰的轉角。令人驚奇的是,他們對於本源狀態的探索造就了一種簡單純粹的物體,而這些物體並不應被視作類型的前身,儘管他們曾在 ETH 師從 Aldo Rossi。H &de M 刻意地避免用精心構思的圖像去導致一種類型。他們更加擔心的是"圖像比喻",我更傾向於說,那種想要抹殺所有已知圖像的痕跡的艱苦努力成就了他們的作品。表現及被表現對於他們來說是等同,完全一致的,由於沒有所設定的圖像,所以它們在建造過程中得以融為一體。因此,對於命名事物的憂慮被減輕了,只有構想新事物的誕生所帶來的滿足。
  不過,建築師用來表現的載體就是材料。在建築學上要表達任何東西都意味著建造,即與材料打交道。H &de M 相當地清楚這一點;他們源源本本地接受材料,但所做的是洞悉一種新的設定,新的使用它們的方式。對他們來說,材料先行決定了形式。木板的平面性決定了牆最後的圖案。木質的紋理與節點相結合,令人想起傳統的石牆的節點。在位於瑞士,Oberwil 的 Blue House,混凝土砌塊通過塗色被轉化了。板材的構造也限定了分隔,並最終形成了牆的外貌。
   Ricola Storage Building 清楚地證明了 H &de M 的建築中材料的重要性。他們喜愛工業材料,從而避免把對於本源的探索與復古情懷混為一談。他們對於材料的敏感使用造就了在 Tavole 的 Stone House 中所展現的那種豐富的體驗。各種材料所演弈的角色,諸如混凝土,砌塊,石頭, 對於確定窗戶的位置及屋頂與牆的銜接等等都是決定性的。H &de M 處理材料就像畫家處理顏色和畫布的紋理;材料有助於確定建造的視覺結構,並為建築的物質存在性提供對自身的支持。在 Stone House的例子中,混凝土與石工以一種不同尋常的方式共同作用,使其不能僅僅被解讀為又一例填充牆的構築物;令人驚異地,豎向的混凝土構件表達了室內空間的劃分。建築並非一種可以被理解為通過機械程序臆造的產物。沒有任何東西推惟給不可靠的選擇。H &de M 的設計過程恰恰是那種被稱之為選擇性設計的反面。他們的作品喚起了一種清教徒般的寧靜,當一個人相信事物不能以任何其他方式存在時所懷有的那種感覺。
  然而,H & de M 的作品又是堅定地植根於它們所產生的社會:在他們的國家,瑞士。他們的作品反映出某些為本世紀瑞士建築所實證的品質與屬性:尊重建築場所,恰當地建造,精確的細部節點。在尋求審慎與可靠的作品的政客的眼光裡,這種務實的姿態展示了一種合理性。所以,H & de M 能夠成功地在瑞士與那些更為商業化的設計公司競爭。從他們對可以被稱之為理性建築的關注來看,H &de M 的作品看起來是繼承了諸如 Moser, Bernouilli 或 Salvisberg 的建築傳統,甚至使人聯想起 Hannes Meyer。總之,精確與富有效率受到早期的瑞士現代主義建築師的普遍尊崇。而且我們知道這些屬性對於 Salvisberg 來說,決不僅僅是風格化的現代主義教條,所以我們今天對他的建築有著高度的評價。當 H &de M 致力於住宅項目時,就更為有力地證明了這種傾向。他們的住宅基本上尊重了所熟知的類型,然而總是結合了使他們的方案充滿生機的元素,賦予了他們毫不含糊、獨一無二的設計思路。對他們作品的研究表明,這一點在大的項目和小的項目中是完全一致的;例如 Vienna-Aspern 住宅項目或是 Schwartz Park 的公寓樓。建築師的這種自我約束的工作方式,他們對於形式操作的節制,以及某種對清教徒式的嚴謹所懷有的自豪感使他們的作品始終散發著濃烈的氣質。
  關注 H &de M 這樣的有著如此出色的作品的年輕建築師的確是獲益良多,不僅是限於有素養的專業圈子,而且在他們的社會裡也被廣泛地接受與理解。H &de M 做到了服務於社會而沒有丟失他們的學術理想。實際上,正是由於他們意識到建築的社會責任,從而使他們的作品得到了提升。在他們作品的諸多積極元素裡,如果我們仍然相信建築與社會是密不可分的,那麼這種理解就顯得更為有意義。
  前面的段落,從現在算寫於幾乎十年以前,是為介紹 H &de M 的作品給北美的公眾,總的來說於我仍歷久如新。在已經過去的這段時間裡,他們做了大量的設計,證明了他們駕馭各種各樣的設計內容的能力,非常的富有才華,感覺敏銳,靈活且高效率。他們不斷地參加競賽,在專業刊物上發表他們的作品,還有他們在不同學校的教學,已經使他們的設計思想成為今天不容忽視的一種選擇。是什麼使他們的作品對學生與批判家都這麼有吸引力呢?我可以大膽地說,由於堅信建築能給所有參與建造的人帶來一種全新感受的力量,他們征服了那些拒絕把周圍的世界看成是隨機和偶然的現實的人們。即使在他們現在的作品裡,那種嘗試不同地去使用材料的新鮮感,以及那種把建築學裡可以被理解為個人風格的表現減至最少的堅定信心,都仍然令人耳目一新。
  另外很有價值的是,將普遍性置於偶然性之上賦予了 H &de M 的作品逆"流行"而動的勇氣。然而,這裡存在某種矛盾:一種態度看起來像是提倡對(建築)基本性的發現,這是一種力求深刻的,置作品於某種癡迷狀態的態度;另外一方面則是一視同仁地使用各種不容忽視的設計技巧,這一點似乎促使他們去同最為粗劣的專業主義相抗衡。換句話來說,對於有著這樣的理想目標的建築學,要與以實際經驗為美德、從而不可避免地陷入重複的職業實踐相共存是非常困難的。結果,我們不得不承認,在他們現在的大量設計中並非所有的都像最初的那些一樣使我們感興趣。為了不至於讓讀者感到迷惑,我這裡所指的例子是,位於 Basel 的 Suva Building, 位於 St. Louis 的 Pfaffenholz Sport Center, 在 Mulhous 的 Ricola Factory, 及 Technical University of Eberswalde 的圖書館,還有像 University of Jussieu 的校園或 Blois 文化中心。在所有這些儘管顯示出他們職業素養的設計中,建築師的活動餘地被限制在對立面的控制,建築表皮的定義:那些建築材料看上去僅此而已,失去了令我們對他們最初的嘗試充滿敬意的那種份量。
  但是,在這幾年的作品中也有像位於 Napa Valley 的 Dominus Winery 這樣的成就,這個作品可以代表所有其他那些設計用來證明"材料是建築表達的手段"。運用最基本的實體,冷淡而不傲慢,沉默而不喧囂,H & de M 使我們所熟悉的一切都經由材料得到了轉化。這個建築作品簡直純粹地是對材料的昇華與歡慶 -- 一種無需形體的材料。形體可以在材料這一媒介中缺失與沉寂。只有材料是永恆的,只有材料可以發言和參與,擁有表達的權力。至少這一點在這個設計得以呈現,其中,材料的發明是其最顯著的特點。我特別地使用了"發明"一詞。在這裡的情況下,材料要更加複雜:它充滿了回聲與幻想。那些金屬石筐使人第一次見到就產生這樣的感覺。我們通常是在加固切開的公路時才會見到那樣的金屬石筐,一種不透明的材料。從來不像 H &de M 在這裡所提議的,是半透明的。使用半透明的金屬石筐來建造牆體,H &de M 展現了他們作為發明者的素質。
  通過使用這樣一種有吸引力的新材料,H &de M 是希望提醒我們礦物材料在生命成長中所起的作用嗎?那些被囚禁的石頭是在訴說著對人類最初用作酒窖的岩石洞穴的懷念嗎?是他們希望展示給我們這棟建築在呼吸嗎?還是使那些籠子裡的石頭能起到氣候上的保障,同時又保持空氣流動,來滿足釀造上好葡萄酒的要求呢?我們可以問許多這樣的問題。但我們寧願集中我們的注意力在金屬石筐材料上,而不要分散到那些超出職業或歷史範疇的問題上。一連串的問題使我們不得不提到所涉及元素的巨石般的,近乎新石器時代的個性,從而評價這座意欲忽略任何與建造沒有內在聯繫的建築。在這裡,建造表現得好像僅僅對牆的存在/外觀感興趣,而在 Dominus Winery 中並沒有其它的建築技術元素可以與之相提並論。屋頂與開口所佔筆墨很少,而只是牆最有份量,以及它所建構的材料。
  不過,在認識到這個設計中材料的重要性的同時,我們不應該忽視賦予了這樣的建造以意義,並由此建立了它們之間的對話的正是周圍的景觀,那些生長在 Napa Valley 平緩坡地上的葡萄籐的幾何形式。耕耘過的土地與這棟建築恰恰相反,建築在任何意義上都不能從環境文脈上來評價,而是賦予了已經存在的以新的內涵。也就是說,對於植物覆蓋的大地,(建築)並沒有干擾她,也沒有表明一種時間上的順序。H &de M 看起來對柯布西耶式的將建築理解為"(建築)漫步"並不感興趣。如果一定要提及時間,只需要說,它闡釋了西班牙詩人 Jorge Guillen 著名的詩句:"時間,永久地,駐留在葡萄籐裡"。建築師聚精會神於建築體量的這種關注體現了對每一條盤繞於大地之上的葡萄籐的無時無刻的敬意:在這裡所認真對待的價值被明顯地當作一種源源本本的事實來對待。而且,這一點並非是軼事式的重複,而是恰恰相反,是通過一如既往地對重新從源初出發的探索而實現的超越。
  他們最近的設計中在我看來值得一提的是位於 Leymen 的 Rudin House。 我不斷地講 H &de M 的作品表現出一種有意的對形像參照的忽略與輕視。我們已經在他們許多設計中看到了對所有來自類型的影響的消除, 諸如 Basel 的鐵路信號站,或 Duisburg 的 Grothe Collection。然而在這裡,形像表現得十分重要。毫無疑問,Rudin House 對建築評論提出了一個很有意思的問題:對形像過於表面的引用實際上意味著對形像的忽視。最經典的家居的形式 -- 我們從小就學著畫的有坡屋頂的房子,被剝去了它所有的屬性:沒有屋頂,也沒有牆;開口被佈置得異乎尋常地含糊。我們在前面的段落所討論的水平面被轉化為一層薄板,割斷了所有與地面可能的聯繫。H &de M 想要通過消減它的形像為一種沒有意義的空殼來驅除家居的意念,只剩下一段沒有任何索引的話語。而這一點正是任務書所要求的,因為這位居住者最為關注個體之間乃至由此而來的所有建築的彼此隔離的狀況。關於起源的想法至此似乎被迫並無可避免地成為對類型中體現的歷史的反映,而這一切使建築師們得面對痛苦的對記憶的轉化,我們甚至要稱之為精神分裂。文丘裡(Venturi) 所決意追求的那種不可能的諷刺在這裡竟然達到了一種從未有過的戲劇性。
  結束之前,這篇文章不能不提到 H &de M 最新的設計,一個是位於 Santa Cruz de Tenerife 的 Oscar Domingue 的文化中心,還有就是 Ricola 的新的經營辦公室。這些設計提供了新的值得研究的內容,初看起來,可能會打破那些為大家所習慣的印象,比如說總是把 H &de M 的作品和稜角分明的體量聯繫在一起。Kramlich House 與 Cottbus 圖書館向我們展示了建築師意識到科學上的新的轉變:火炬已經從物理學傳到了生物學的手裡。在這些作品裡,H &de M 的形式與用來研究生物現象的模型相去不遠。但是,任何想要在這些設計中發現有機建築學的影響的假定都是徒勞的,因為我們知道,Frank Lloyd Wright 的作品總是通過以中心作為不可避免的起點的幾何形式來組織的。在(H &de M 的)這些設計中,中心根本不重要。就像在細胞的世界裡,生命通過其周邊定義自身。所以,對周邊的探索才是關鍵。在 Cottbus 圖書館的例子中,設計研究了周邊與圖形--首層平面--建築師所孰知的有的方案之間的矛盾。
  數學裡排列組合的老想法又一次出現了。在位於 California 的 Kramlich House 的設計裡,彎曲的線條交織在一起,所產生的虛實凸凹似乎可以滿足各種複雜的使用和功能。我們可以在這個房子裡注意到對偶然性的某種偏好。如果說在 Rudin House 中,家居性被刻意地驅除了的話,似乎矛盾的是 H &de M 在這裡彷彿要告訴我們,即使沒有建築師的設計,也沒有平面圖來限定房子的空間,依然可以有建築產生的可能。
  在 Oscar Dominguez 文化中心和 Ricola 的新辦公室的設計中,H &de M 提出了一種介於場所周邊與建築物之間的不常有的對話。一般來說,正如人們所說明的那樣,它們的抽像體量流露著對周圍事物的漠不關心。Rossi 所講的對功能的不關心在他們的作品中被轉化為對場所的不關心。然而,這裡的例子並非如此。在為 Canary Islands 所設計的文化中心中,建築形式的構思來自於道路和場地的周邊輪廓所提供的由斜角構成的複雜幾何形體。建築師正是在這些人為輔助線的幫助下進行建造的。幾何形體之間的對話在這裡被轉化為建築的實存和依據。在很大程度上,Ricola 的設計也是如此,傾斜的玻璃板的運用把建築外牆變為一種迷人的建築體驗。無論是誰,研究平面時都會理解這裡的斜角幾何形體對保持室內外空間的平衡是多麼重要,以及它們如何使我們對室內外同樣地感興趣。
  毫無疑問,對於許多關注 H &de M 的事業發展的建築師來說,這些作品所引起的驚喜,絲毫不亞於對他們能始終保持一種開放積極的態度所需要的勇氣的讚賞:看到象 H &de M 這樣成熟的建築師,把這樣一種精神貫徹在他們最新的作品中確實令人欣喜不已。
[譯者註:原文發表在1999年5,6月合刊的 AV Monografias。這篇文章所涉及的三位建築師都是同時積極參與設計實踐和教學,他們的作品與思想可以說在現在的建築領域有著相當重要的影響,作為對他們的貢獻的肯定,Jose Rafael Moneo 於1996年,Jacques Herzog 與 Pierre de Meuron 於2001年先後獲得了 Pritzker Architecture Prize。Moneo 教授在這裡既把 H &de M 的作品放在一個相當大的歷史背景之下,又深入地將批判從哲學的高度貫徹到建築的構造節點,尤為可鑒地對建築設計直接進行了嚴謹的學術評論。在此推薦給大家。
[附錄]
Jacques Herzog
1950年生於 Basel, 瑞士
1975年畢業於蘇黎士 ETH, 獲建築學位
1977年在蘇黎士 ETH 擔任 Dolf Schnebli 教授的助教
1978年與 Pieere de Meuron 一起成立 Herzog & de Meuron, Basel
1983年獲聘美國紐約州 Cornell University, Ithaca 的指導教師
1989年獲聘美國麻薩諸塞州 Harvard University, Cambridge 的客座教授
1994年至今獲聘美國麻薩諸塞州 Harvard University, Cambridge 的客座教授
1999年至今獲聘瑞士蘇黎士 ETH,Basel 設計課教授

Pierre de Meuron
1950年生於 Basel, 瑞士
1975年畢業於蘇黎士 ETH, 獲建築學位
1977年在蘇黎士 ETH 擔任 Dolf Schnebli 教授的助教
1978年與 Jacquesn Herzog 一起成立 Herzog & de Meuron, Basel
1989年獲聘美國麻薩諸塞州 Harvard University, Cambridge 的客座教授
1994年至今獲聘美國麻薩諸塞州 Harvard University, Cambridge 的客座教授
1999年至今獲聘瑞士蘇黎士 ETH,Basel 設計課教授

Jose Rafael Moneo
1937年生於西班牙 Tudela, Navarra
1961年畢業於馬德里 Technical School of Architecture
1963年得到羅馬西班牙學院的兩年獎學金
1966年-1970年回到馬德里 Technical School of Architecture 任教
1970年成為巴塞羅那 Technical School of Architecture 的建築理論教授,
同年提名為馬德里 Technical School of Architecture 教授
1976年受邀成為紐約 Institute for Architecture and Urban Studies 及 Cooper Union School of Architecture 的訪問學者 二十世紀七十年代末,八十年代初受聘為 Princeton University, Harvard University 及瑞士 The Federal Polytechnic School in Lausanne 客座教授
1985年-1990年 為 Harvard University 設計學院建築系主任,
1991年被提名為該校 Josep Lluis Sert Professor of Architecture