數學奇才破解「龐卡赫猜想」?

百年來令全球數學界絞盡腦汁、始終無法破解的「龐卡赫猜想」（Poincare Conjecture），可能已經在兩年前被一位俄羅斯數學家證明。>
這位年僅四十歲上下的數學奇才葛瑞哥里．裴瑞曼（Grigori Perelman）對自己的功績卻處之淡然，不僅無意在主流學術期刊上發表論文，面對美國學術機構懸賞的一百萬美元獎金，更是心如止水。 美國史丹福大學數學教授戴孚林，昨天在英國艾克希特的「英國科學協會節慶」上表示，經過各國數學家嚴密檢視之後，裴瑞曼從二○○二年十一月開始發表的一系列論文，很可能就是「龐卡赫猜想」的正解。果真如此，裴瑞曼的成就將可媲美十年前破解「費馬最後定理」的普林斯頓大學教授威爾斯。最終結果如何，全球數學界正屏息以待。
「龐卡赫猜想」是偉大的法國數學與物理學家龐卡赫（Jules Poincare）於一九○四年提出，在幾何學與拓樸學領域非常重要，其意涵相當複雜艱深，簡述如下：「每一個單連通的（simply connected）、封閉的三維流形（manifold），必定與三維的球面同胚（homeomorphic）」。較易懂的講法是：「每一個沒有洞的封閉三維物體，就拓樸學的觀點而言，都等價於三維的球面。」 可是這個猜想不僅龐卡赫本人無法證明，百年來更不知讓多少數學家無功而返。二○○○年五月，美國麻州劍橋的「克雷數學研究中心」（ＣＭＩ）公布了七個歷來無人能解的「千禧年大獎難題」，向全球數學家廣發英雄帖：任何人只要能夠解出一道難題，並經過數學界以兩年時間驗證，就可以得到一百萬美元的獎金，而「龐卡赫猜想」正是其中的一道。 兩年前，英國南安普頓大學數學家鄧伍迪曾提出自己的證明，引起學界極高的期待，可惜事隔數月之後就遭到推翻。不過裴瑞曼的證明顯然高明得多，兩年來經過各方高手四面八方的反覆檢視，至今仍屹立不搖，很可能從此從塵埃盡落、定於一尊，結束數學界對「龐卡赫猜想」這座聖盃的追尋，並進而開啟更豐富的研究領域。 裴瑞曼是俄羅斯聖彼得堡大學的數學博士，他長期在俄羅斯科學院轄下的「史泰克洛夫數學研究中心」，埋首於最艱深的數學思維之中。一九八○年代晚期到一九九○年代初期之間，他遠赴美國取經，曾駐足紐約州立大學、加州大學柏克萊分校等知名學府。從一九九四年到二○○二年之間，裴瑞曼閉關苦思，沒有發表任何一篇論文，全心蘊釀他的劃時代突破。 儘管成名甚早，被譽為一位優秀的微分幾何學家，然而裴瑞曼顯然是一位淡泊名利的純粹學者。一九九○年代初期，「歐洲數學學會」曾有意獎勵他的學術成就，而且金額相當可觀，但裴瑞曼敬謝不敏，令學界同僚只能以「超然物外」來形容。 同時裴瑞曼也一反學術界常規，他證明「龐卡赫猜想」的幾篇關鍵論文，並不是在同儕評論的主流期刊發表，而是刊登於一個少為人知的網站「arXiv」。不過這幾篇的論文還是立刻引發學術界廣大迴響。戴孚林指出，就算裴瑞曼的證明被其他學者否證，他的理念與方法還是會留下不可磨滅的貢獻。 去年四月，裴瑞曼應邀到美國普林斯頓大學發表演講，聽眾之中包括諾貝爾獎得主約翰．納許（電影《美麗境界》的主人翁），以及破解「費馬最後定理」的威爾斯，大廳中一百多位數學界的老、中、青三代菁英，共同見證了裴瑞曼的歷史性成就。
(2004.09.08 中國時報 數學奇才破解「龐卡赫猜想」?閻紀宇/外電報導)
龐卡赫猜想（Poincare conjecture）︰
這是由法國數學家龐卡赫於距今100年整提出來的，它的意思是，三維球在三維流形之中的確是獨一無二的，再也沒有其他三維流形，具備三維球那種簡單的性質。比三維球更複雜的其他三維流形，要不是具有邊界（就好像你會碰上的一堵磚牆），不然就是各區域之間有著多重連結（就好像樹林裡的路徑岔開後又會連結在一起）；龐卡赫猜想要說的正是：三維球是唯一沒有以上這些較複雜結構的緊緻三維流形。
（資料來源︰科學人2004年8月號〈空間形狀知多少？〉）

數學的七大難題

德國數學家David Hilbert於1900年在巴黎舉行的第二屆國際數學家協會中公布了他的23個數學難題，百年來，已經解出了20個問題，而這些結果間接促成了文明史上醫學、科技、與安全問題的重大突破。不久前英、美兩家出版社獎勵說，誰能在兩年內證明哥德巴赫猜想，將可得到獎金100萬美元。稍後，美國「克萊數學院」2000年5月24日又宣佈，7大數學難題懸賞求解。學院將這7大難題命名為『千禧年大獎問題』，並將發給每位正確解答者100萬美元。根據學院規定，解答必須公布在知名的數學期刊上，並且保留2年的辯證期。一旦通過多方辯證考驗，數學界大家都滿意他的證明後，「克萊數學院」會在頒發獎金前公開所有的審核過程。主辦單位認為，第一筆獎金最快也要到4年後才會發出。在「克萊數學院」宣佈7大難題懸賞舉行的新聞發佈會上，身為「克萊數學院」委員，並在1995年因修正了「費瑪最後定理（Fermat's Last Theorem）」的邏輯漏洞而名噪一時的懷爾斯（Andrew Wiles）說：「這些是二十世紀最難解的七大數學問題了。希望透過獎金獎勵，可以吸引並發掘新一代的數學家。」他自己對於興趣在一個數學家成長過程中的作用有著深刻的體會。懷爾斯回憶說，他10歲時在一本連環畫上首次知道了什麼是『費爾馬大定理』，這成為他不斷探索問題解答的起點。「克萊數學院」揮金如土的另一個原因，是因為此次懸賞求解的7大難題是20世紀中仍未被數學家解決的數學題。過去100年來，最優秀的數學家面對它們都無計可施。而這幾道難題的破解，極有可能為密碼學等研究帶來革命。例如，有關專家指出，7大難題中最有名的『黎曼假設』一旦獲得解答，將有助於研製出提高網路上資訊傳輸的安全性，客戶的信用卡賬號資訊、醫療和金融資料等將獲得到更高的保障。而其餘的"普安卡雷猜想"、"霍奇猜想"、"戴爾猜想"、"斯托克斯方程"、"米爾斯理論"以及"P對NP問題"等6大難題，解決後可能給航太等領域帶來突破性進展，並開展出空前的數學研究領域。　　
1.黎曼假設 The Riemann Hypothesis2.普安卡雷猜想 The Poincare Conjecture3.霍奇猜想 The Hodge Conjecture4.戴爾猜想The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture5.斯托克斯方程（流體力學的N-S方程式）Navier-Stokes Existence and Smoothness6.米爾斯理論「The Yang-Mills Theory」（楊密規範場論）Yang-Mills Existence and Mass Gap7.P對NP問題 P versus NP　　 　　 相關網站：克萊數學院 Clay Mathematics Institute -千禧七大難題